September 20th, 2017

madscientist

57 est un nombre premier

Il existe une anecdote à l'historicité douteuse, comme quoi Alexandre Grothendieck (1928-2014), le génial mathématicien, avait un jour, pour illustrer son propos, pris un nombre au hasard parmi l'ensemble des nombres premiers, en l'occurrence, 57, qu'il a utilisé pour la suite de sa démonstration.

Il se trouve que 57 n'est pas un nombre premier (il est divisible par 3). Pourquoi cette confusion ?

La première hypothèse, c'est que Grothendieck souhaiter "fixer les idées" de son auditoire sur un nombre ne particulier, plutôt que sur un alpha quelconque, et avait donc pris un nombre au hasard sans se soucier des propriétés qu'il pouvait avoir.

La seconde, c'est qu'en toute bonne fois, Alexandre Grothendieck avait considéré que 57 était réellement un nombre premier, sans se donner la peine de vérifier plus avant.

Comment sait-on qu'un nombre est premier ? Quand on est familier avec le concept et qu'on a l'habitude d'en rechercher, si on vous donne un nombre quelconque inférieur à 100, on va tous plus ou moins suivre le même algorithme :
- Eliminer les nombres pairs
- Eliminer les nombres se terminant par 5
- Eliminer tous les résultats de la table de multiplication apprise à l'école, et qui se termine en général par 10x10 (ça fait 100)

Ce tamis permet d'éliminer la plupart des nombres non-premiers du premier coup d’œil, mais il n'est pas sans trou dans la raquette. Ici, 57 est égal à 3x19. Vous connaissez la table de 19 par cœur vous ? Moi non plus, donc 57 n'est pas dans "la liste". S'il sort du Alors, combien d'autres faux-premiers existe-t-il parmi les inférieurs à 100 ? Il faut trouver les nombres produits de deux impairs, dont l'un est suffisamment bas pour que l'autre sorte des tables de multiplication "triviales". Il reste :
57 = 3x19
51 = 3x17
91 = 7x13
Notez que 51 est assez immédiatement identifiable comme divisible par 3 (5+1=6), c'est donc un "premier de Grothendieck" assez douteux.