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Les plans secrets du pentagone


Je viens de lire un intéressant article dans "Pour la science" au sujet du pavage du plan par des pentagones. C'est un sujet plus touffu qu'il n'y paraît. Certes, le pentagone régulier ne permet pas un pavage du plan, car son angle est trop petit pour en ranger 3 autour d'un même sommet, et trop grand pour en ranger 4. Mais si le pentagone n'est pas régulier ? Le résultat n'est alors plus si trivial.

Tout d'abord, il faut isoler le cas des pentagones convexes des concaves, qui sont encore plus compliqués. Ensuite, parmi ces convexes, il apparaît que certaines relations géométriques entre les angles et entre les longueurs des côtés permettent de composer des motifs translatables, pavant le plan. Ces pentagones particuliers forment ce que l'on appelle des classes. Par exemple, la classe 2 est celle ou les angles A, B et D font une somme de 360° et où l'arête a est égale en longueur à l'arête d. Un tel pentagone se cale tête-bêche avec un collègue pour former un motif binaire qui lui-même s'encastre dans un autre, pour former un pavé à 4 pentagones, lequel pave le plan.

Combien existe-t-il de classes de pentagones convexes convenables ? En 1918, le mathématicien Allemand Karl Reinhardt, qui préférait branlotter des mosaïques à l'université de Francfort plutôt que de défendre son pays dans les tranchées, présenta cinq classes, et émit l'opinion comme quoi c'étaient les seules qui existent, que c'était facile à démontrer mais un peu long, choupinette.

On en resta sur cette conclusion pendant cinquante ans, jusqu'au jour où Richard Keshner, mathématicien de Baltimore, découvrit trois classes de plus. Du coup, la conjecture de Reinhardt en prenait un coup dans l'aile. Il était satisfait de lui, puisqu'avec 8 classes, il était raisonnablement convaincu d'avoir fait le tour de la question. Faute de place dans son article, il ne pouvait en donner la démonstration, mais promis juré, c'était facile à faire (notez que Fermat utilisa la même astuce du manque de place pour "démontrer" son "théorème" en 1670).

Le problème et sa "solution" furent publiés dans un article de Martin Gardner de Scientific American en 1975, et attira l'attention de Marjorie Rice, professeur émérite de statistique non-euclidienne des espaces fibrés en phase sustentatoire à l'université Cornell de Pasadena au Nouveau-Mexique honnête mère au foyer sans formation mathématique préalable, qui dans sa cuisine, entre deux dindes fourrées, trouva le temps d'en inventer quatre autres.

En 1985, Rolf Stein sauva l'honneur de l'Université allemande en découvrant la 14e, mais sans prétendre que ce serait la dernière. On en est là aujourd'hui.


Notez que d'autres mathématiciens se sont intéressés au pavage d'hexagones, comme Thomas Hales, déjà connu pour avoir démontrer que la compacité optimale des sphères est obtenue par un empilement cubique à faces centrées (et là je suis content d'avoir fait de la chimie). Thomas Hales s'est donc intéressé à la forme de pentagone optimale (périmètre minimum pour une surface maximum), comme ce qu'on obtiendrait si on forçait les abeilles à faire des rayons pentagonaux au lieu d'hexagones. C'est rigolo parce que les théorèmes de Thomas Hales, on peut les écrire "théorème de T. Hales". LOUL.

Bref, pour en revenir à nos classes, on n'a toujours pas démontré qu'on avait complété la liste avec 14 classes. En existe-t-il d'autres, et combien ? Inspiré par l'exemple de Marjorie Rice, je m'attelais moi-même au problème, et parvins à une démonstration que je crois bien établie, et que je soumettrai à mes pairs au prochain congrès de mathématiques qui passera dans le coin. Cette démonstration, assez élégante, peut s'énoncer ainsi :

" Soit un angle de 3° générant un volume par symétrie de révolution autour de sa bissectrice, de 80cm de long en bois dur, je te la mets dans la gueule si tu découvres d'autres classes, que tes dents tu vas les retrouver étalées de façon anisotropique dans l'espace des phases. "
Tags: science
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